题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）
设函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若，试确定的单调性；
（3）记，且在上的最大值为M，证明：．

答案

（1）当时,函数有极大值，，
当时，函数有极小值，
（2）当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在单调递减
当时,函数在和上单调递增，在上单调递减
（3）略

解析

解：（1）若，则
有
令得,--------------------------------1分
∵当时，当时，当时，
∴当时,函数有极大值，， -----------2分
当时，函数有极小值， ----------------3分
(2)∵即
又
∴＝------------5分
当即时，
∴函数在上单调递增； -----------------------6分
当，即时，由得或，
由得； ----------------7分
当，即时，由得或，
由得；-------------------------8分
综上得：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在单调递减-9分
当时,函数在和上单调递增，在上单调递减.-10分
（3）根据题意＝，
∵在上的最大值为M，
∴
即 -------------------12分
2＝
∴    ----------------------14分