题目

题型：不详难度：来源：

（（本小题满分14分）
已知函数．
（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，试比较与的大小；
（3）求证：（）．

答案

解：（1）当时，，定义域是，
， 令，得或． …2分
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减． ……………4分
的极大值是，极小值是．
当时，； 当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分
（2）当时，，定义域为．
令，
，
在上是增函数．             …………………………………7分
①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即． …………………………………9分
（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，   ． ……………12分
，
．               ……………………………………14分
(法二)当时，．
，，即时命题成立．  ………………………………10分
设当时，命题成立，即 ．
时，．
根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．……………13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立．                ………………………………14分
（法三）如图，根据定积分的定义，
得．……11分

，

． ………………………………12分
，
又，，
．
．               …………………………………14分

解析

略