题目

题型：不详难度：来源：

已知函数的图象在上连续不断，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
（1）已知函数，试写出，的表达式，并判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，请求对应的的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.

答案

解：（1）由题意可得，，． 
于是．
若是为上的“阶收缩函数”，则在上恒成立，且
成立.
令,，则，所以在单调递减，∴,，即，于是在恒成立;
又成立．
故存在最小的正整数，使是为上的“２阶收缩函数”．…………6分
（2）,令得或.
函数,的变化情况如下：

x	(-∞,0)	0	(0,2)	2	(2,+∞)
y’	-	0	+	0	-
y	减	极小	增	极大	减

 
…………………… 8分
ⅰ）时，在上单调递增，因此，，.
因为是上的2阶收缩函数，
所以，①对恒成立；
②存在，使得成立.    
①即：对恒成立，由，解得：或，
要使对恒成立，需且只需.              
②即：存在，使得成立.
由得：或，所以，需且只需.
综合①②可得：.                                                                ………………12分
ⅱ）当时，显然有，由于在上单调递增，根据定义可得：
，，可得，
此时，不成立.                
综合ⅰ）ⅱ）可得：.                                                    ……………14分
注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单而已.

解析

略