题目

题型：不详难度：来源：

设函数，其中为常数．
（Ⅰ）证明：对任意，的图象恒过定点；
（Ⅱ）当时，判断函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若对任意时，恒为定义域上的增函数，求的最大值．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

答案

解：（Ⅰ）令，得，且，
所以的图象过定点；               -----------------（2分）   
（Ⅱ）当时，， 
令，经观察得有根，下证明无其它根．
，当时，，即在上是单调递增函数．
所以有唯一根；且当时，，在上是减函数；当时，，在上是增函数；
所以是的唯一极小值点．极小值是． --（8分）
（Ⅲ），令
由题设，对任意，有，，
又   
当时，，是减函数；当时，，是增函数；所以当时，有极小值，也是最小值，
又由得，得，即的最大值为．-（12分

解析

略