题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若函数f (x)在区间(1,2)上不是单调函数,试求a的取值范围;
(Ⅱ)直接写出(不需给出运算过程)函数的单调递减区间;
(Ⅲ)如果存在a∈(-∞,-1],使得函数, x∈[-1, b](b > -1),在x = -1处取得最小值,试求b的最大值.
答案
依题意知方程在区间(1,2)内有不重复的零点,
由得
∵x∈(1,2), ∴
∴;
令 (x∈(1,2)),则,
∴在区间(1,2)上是单调递增函数,其值域为,
故a的取值范围是. ………………………5分
解法二:
依题意知方程即在区间(1,2)内有不重复的零点,
当a=0时,得 x=0,但0(1,2);
当a≠0时,方程的△=1+12a2>0,,必有两异号根,
欲使f (x)在区间(1,2)上不是单调函数,方程在(1,2)内一定有一根,设,则F(1)·F(2)<0,
即 (2a+2)(11a+4)<0,解得,
故 a的取值范围是.
(解法二得分标准类比解法一)
(Ⅱ)函数g (x)的定义域为(0,+∞),
当 a≥0时,g (x)在(0,+∞)上单调递增,无单调递减区间;
当 a<0时,g (x)的单调递减区间是 ………………8分
(Ⅲ);
依题意在区间[-1, b]上恒成立,
即 ①
当x∈[-1, b] 恒成立,
当 x=-1时,不等式①成立;
当 -1< x ≤b时,不等式①可化为
②
令,由a∈(-∞,-1]知,的图像是
开口向下的抛物线,所以,在闭区间上的最小值必在区间的端点处取得,
而,
∴不等式②恒成立的充要条件是,
即,
亦即 a∈(-∞,-1];
当a∈(-∞,-1]时,,
∴ (b >-1), 即 b2+b-4 ≤ 0;
解得;
但b >-1,∴;
故 b的最大值为,此时 a =-1符合题意. ……………14分
解析
核心考点
试题【(本题14分)已知函数f (x) = ax3 +x2 -ax,其中a,x∈R.(Ⅰ)若函数f (x)在区间(1,2)上不是单调函数,试求a的取值范围;(Ⅱ)直接】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
则的取值范围为 ▲ .
(1)求的值; (2)求证: (3)求的取值范围.
函数.
(1)求证函数在区间上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时相应的近似值(误差不超过);(参考数据,,)
(2)当时,若关于的不等式恒成立,试求实数的取值范围.
A.2 | B. | C. | D. |
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