题目
题型:不详难度:来源:
(1)求f(x)的极值;
(2)若曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点, 求a的取值范围.
答案
(2)当时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
解析
(1)因为a为实数, 函数f(x)=x3-x2-x+a.求解导数,结合导数的符号判定单调性得到
f(x)的极值;
(2)因为曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点, 由此可知x取足够大的正数时有f(x)>0, x取足够小的负数时有f(x)<0.
所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点,结合导数的思想判定得到。
(1)=3x2-2x-1.若=0,则x=-或x=1 ………… 2分
当x变化时,、f(x)的变化情况如下表:
1 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
f(x) | 极大值 | 极小值 |
…………4分
所以f(x)的极大值是f()=,极小值是f(1)=a-1.………… 6分
(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.
由此可知x取足够大的正数时有f(x)>0, x取足够小的负数时有f(x)<0.
所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点. …………8分
结合f(x)的单调性可知,
当f(x)的极大值<0,即a时,它的极小值也小于0.
因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(1,+)上.
当f(x)的极小值a-1>0,即a时,它的极大值也大于0.
因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在()上.
所以当时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.…… 12分
核心考点
试题【设a为实数, 函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求f(x)的极值;(2)若曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点, 求a的取值范围. 】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求g(t)的表达式;
(2)对于区间[-1,1]中的某个t,是否存在实数a,使得不等式g(t)≤成立?如果存在,求出这样的a及其对应的t;如果不存在,请说明理由.
(Ⅰ)若b2>4(c-1),讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若b2≤4(c-1),且=4,试证:-6≤b≤2.
(1)利用函数单调性的定义,判断函数在上的单调性;
(2)若,求函数在上的最大值。
(1)求实数的取值范围;
(2)若分别为的极大值和极小值,记,求S的取值范围。
(注:为自然对数的底数)
(Ⅰ)求;(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围.
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