题目
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=4x3+ax2+bx+5在x=与x=-1时有极值.
(1)写出函数的解析式;
(2)指出函数的单调区间;
(3)求f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.
(1)写出函数的解析式;
(2)指出函数的单调区间;
(3)求f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.
答案
(1) f(x)= 4x3-3x2-18x+5
(2) (-1,)
(3) f(x)在[-1,2]上的最小值是-,最大值为16.
(2) (-1,)
(3) f(x)在[-1,2]上的最小值是-,最大值为16.
解析
此题主要考查多项式函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数、方程等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,难度不大.
(1)首先求出函数的导数,然后f′(-1)=0,f′()=0,解出a、b的值,进而求出解析式
(2)f′(x)<0,求出函数的单调区间;
(3)由(1)求出端点处函数值,从而求出函数f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.
解:(1) f ¢(x)=12x2+2ax+b.由题设知x = 与x =-1时函数有极值.
则x = 与x =-1满足f ¢(x)=0.
解得a =-3,b =-18. ∴f(x)= 4x3-3x2-18x+5. ……4分
(2)f ¢(x)=12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3),
令f ¢(x)>0得:(-∞,-1)和(,+∞)均为函数的单调递增区间;
(-1,)为函数的单调递减区间. ……8分
(3)极值点(-1, ) 均属于[-1,2],
又∵f(-1)=16, f(2)=-11, f()=- , ……10分
故f(x)在[-1,2]上的最小值是-,最大值为16. ……12分
注:其它解法可酌情给分.
(1)首先求出函数的导数,然后f′(-1)=0,f′()=0,解出a、b的值,进而求出解析式
(2)f′(x)<0,求出函数的单调区间;
(3)由(1)求出端点处函数值,从而求出函数f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.
解:(1) f ¢(x)=12x2+2ax+b.由题设知x = 与x =-1时函数有极值.
则x = 与x =-1满足f ¢(x)=0.
解得a =-3,b =-18. ∴f(x)= 4x3-3x2-18x+5. ……4分
(2)f ¢(x)=12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3),
令f ¢(x)>0得:(-∞,-1)和(,+∞)均为函数的单调递增区间;
(-1,)为函数的单调递减区间. ……8分
(3)极值点(-1, ) 均属于[-1,2],
又∵f(-1)=16, f(2)=-11, f()=- , ……10分
故f(x)在[-1,2]上的最小值是-,最大值为16. ……12分
注:其它解法可酌情给分.
核心考点
试题【设函数f(x)=4x3+ax2+bx+5在x=与x=-1时有极值.(1)写出函数的解析式;(2)指出函数的单调区间;(3)求f(x)在[-1,2]上的最大值】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数的导函数的图象大致是
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