题目

题型：不详难度：来源：

已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若，证明：．

答案

（1）（0，＋∞）（2）由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，因此，当时，≤，即≤0∴ ．
令，则＝∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ 综上可知，当时，有

解析

试题分析：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－.
由<0及x>－1，得x>0．∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．
⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，
因此，当时，≤，即≤0∴ ．
令，则＝．……………8分
∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．
∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ ．
综上可知，当时，有．……………………………………12分
点评：求单调区间时首先确定其定义域，第二问将证明不等式问题转化为求函数最值问题，进而可利用导数通过求其最值确定不等式的正确性