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题目
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设f(x)=-x3+x2+2ax.
(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.
答案
(1) a>-    (2) f(x)max=
解析
(1)f(x)=-x3+x2+2ax,
∴f"(x)=-x2+x+2a,当x∈[,+∞)时,f"(x)的最大值为f"()=+2a.
函数f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,即导函数在(,+∞)上存在函数值大于零成立,
+2a>0a>-.
(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f"(x)=-x2+x+2a的图象开口向下,且对称轴为x=,
∴f"(1)=-1+1+2a=2a>0,
f"(4)=-16+4+2a=2a-12<0,
则必有一点x0∈[1,4]使得f"(x0)=0,此时函数f(x)在[1,x0]上单调递增,在[x0,4]上单调递减,
f(1)=-++2a=+2a>0,
∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a,
∴-+8a=-,得a=1,
此时,由f"(x0)=-+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),
所以函数f(x)max=f(2)=.
核心考点
试题【设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数y=2x3+1的图象与函数y=3x2-b的图象有三个不相同的交点,则实数b的取值范围是(  )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)

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已知f(x)=x3-3x+m在区间[0,2]上任取三个不同的数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形,则m的取值范围是     .
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已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)定义:若函数在区间上的取值范围为,则称区间为函数的“域同区间”.试问函数上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域同区间”;若不存在,请说明理由.
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一矩形铁皮的长为8 cm,宽为5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?
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函数f(x)=xln x的单调递减区间是 (  ).
A.B.C.D.(e,+∞)

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