题目

题型：不详难度：来源：

设f(x)=-x³+x²+2ax.
(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.

答案

(1) a>-    (2) f(x)_max=

解析

(1)f(x)=-x³+x²+2ax,
∴f"(x)=-x²+x+2a,当x∈[,+∞)时,f"(x)的最大值为f"()=+2a.
函数f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,即导函数在(,+∞)上存在函数值大于零成立,
∴+2a>0a>-.
(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f"(x)=-x²+x+2a的图象开口向下,且对称轴为x=,
∴f"(1)=-1+1+2a=2a>0,
f"(4)=-16+4+2a=2a-12<0,
则必有一点x₀∈[1,4]使得f"(x₀)=0,此时函数f(x)在[1,x₀]上单调递增,在[x₀,4]上单调递减,
f(1)=-++2a=+2a>0,
∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a,
∴-+8a=-,得a=1,
此时,由f"(x₀)=-+x₀+2=0得x₀=2或-1(舍去),
所以函数f(x)_max=f(2)=.