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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数,( 为常数,为自然对数的底).
(1)当时,求
(2)若时取得极小值,试确定的取值范围;
(3)在(2)的条件下,设由的极大值构成的函数为,将换元为,试判断曲线是否能与直线为确定的常数)相切,并说明理由.
答案
(1);(2)的取值范围是;(3)曲线不能与直线相切,证明详见解析.
解析

试题分析:(1)当时,根据函数的求导法则求出导函数,进而可求出;(2)先根据函数的求导法则求出导函数,进而分三种情况进行讨论,确定哪一种情况才符合时取得极小值,进而可确定的取值范围;(3)根据(2)确定函数的极大值为,进而得出,该曲线能否与直线相切,就看方程有没有解,进而转化为求函数的最值问题,利用函数的导数与最值的关系进行求解判断即可.
试题解析:(1)当时,
所以 
(2)因为
,得
,即时,恒成立
此时在区间上单调递减,没有极小值;
,即时, 若,则,若,则
所以是函数的极小值点
,即时,若,则.若,则
此时是函数的极大值点
综上所述,使函数时取得极小值的的取值范围是 
(3)由(2)知当,且时,
因此的极大值点,极大值为
所以
 
恒成立,即在区间上是增函数
所以当时,,即恒有 
又直线的斜率为
所以曲线不能与直线相切.
核心考点
试题【已知函数,( 为常数,为自然对数的底).(1)当时,求;(2)若在时取得极小值,试确定的取值范围;(3)在(2)的条件下,设由的极大值构成的函数为,将换元为,试】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数,其中是自然对数的底数,
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,求的单调区间;
(3)若,函数的图像与函数的图像有3个不同的交点,求实数的取值范围.
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已知函数
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数处取得极值,对恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,求证:
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已知是函数的零点,,则:①;②
;④,其中正确的命题是(   )
A.①④B.②④C.①③D.②③

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已知为定义在(-)上的可导函数,对于∈R恒成立,且e为自然对数的底数,则(  )
A...
B..=.
C...
D...大小不确定

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设函数若当0时,恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.(0,1)B.(-∞,0)C.D.(-∞,1)

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