题目
题型:辽宁难度:来源:
f′k-1(x) |
fk-1(1) |
(1)写出fk(1);
(2)证明:对任意的x1,x2∈[-1,1],恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2)-n-1.
答案
(2)证法1:当-1≤x≤1 时,F(x)=x2n+ncn1x2(n-1)+(n-1)cn2x2(n-2)+…+(n-k+1)cnkx2(n-k)+…+2cnn-1x2+1
当x>0时,F′(x)>0
所以F(x)在[0,1]上为增函数
因函数F(x)为偶函数,所以F(x)在[-1,0]上为减函数
所以对任意的x1,x2∈[-1,1],|F(x1)-F(x2)|≤F(1)-F(0)
F(1)-F(0)=Cn0+ncn1+(n-1)cn2+…+(n-k+1)cnk+…+2cnn-1=ncnn-1+(n-1)cnn-2+…+(n-k+1)cnn-k+…+2cn1+cn0
∵(n-k+1)cnn-k=(n-k)cnn-k+cnk=ncn-1k+cnk(k=1,2,3,…,n-1)
F(!)-F(0)=n(cn-11+cn-12+..+cn-1k-1)+(cn1+cn2+…+cnn-1)+cn0
=n(2n-1-1)+2n-1=2n-1(n+2)-n-1
因此结论成立.
证法2:当-1≤x≤1 时,F(x)=x2n+ncn1x2(n-1)+(n-1)cn2x2(n-2)+…+(n-k+1)cnkx2(n-k)+…+2cnn-1x2+1
当x>0时,F′(x)>0
所以 F(x)在[0,1]上为增函数
因函数 F(x)为偶函数
所以 F(x)在[-1,0]上为减函数
所以对任意的x1,x2∈[-1,1],|F(x1)-F(x2)|≤F(!)-F(0)
F(!)-F(0)=cn0+ncn1+(n-1)cn2+…+(n-k+1)cnk+…+2cnn-1
又因F(1)-F(0)=2cn1+3cn2+…+kcnk-1+…+ncnn-1+cn0
所以2[F(1)-F(0)]=(n+2)[cn1+cn2+…+cnk-1+…+cnn-1]+2cn0
F(1)-F(0)=
n+2 |
2 |
n+2 |
2 |
因此结论成立.
证法3:当-1≤x≤1时,F(x)=x2n+ncn1x2(n-1)+(n-1)cn2x2(n-2)+…+(n-k+1)cnkx2(n-k)+…+2cnn-1x2+1
当x>0时,F′(x)>0
所以F(x)在[0,1]上为增函数
因函数F(x)为偶函数
所以F(x)在[-1,0]上为减函数
所以对任意的x1,x2∈[-1,1],|F(x1)-F(x2)|≤F(!)-F(0)
F(!)-F(0)=cn0+ncn1+(n-1)cn2+…+(n-k+1)cnk+…+2cnn-1
由x[(1+x)n-xn]=x[cn1xn-1+cn2xn-2+…+cnkxn-k+…+cnn-1+1]=cn1xn+cn2xn-1+…+cnkxn-k+1+…+cnn-1x2+x
对上式两边求导得(1+x)n-xn+nx(1+x)n-1-nxn=ncn1xn-1+(n-1)cn2xn-2+…+(n-k+1)cnkxn-k+…+2cnn-1x+1
F(x)=(1+x2)n+nx2(1+x2)n-1-nx2n
∴F(1)-F(0)=2n+n2n-1-n-1=(n+2)2n-1-n-1.
因此结论成立.
核心考点
试题【已知f0(x)=xnfk(x)=f′k-1(x)fk-1(1),其中k≤n(n,k∈N+),设F(x)=Cn0f0(x2)+Cn1f1(x2)+-+Cnnfn(】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]2的最大值和最小正周期;
(2)若f(x)=2f"(x),求
1+sin2x |
cos2x-sinxcosx |
A.-1 | B.0 | C.1 | D.±1 |
f′(1) |
2 |
(1)a表示f′(1);
(II)若函数f(x)f在R上存在极值,求a的范围.
|
最新试题
- 1(本小题满分10分)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:年份20022004200620082010需求
- 2现在,中途岛海战已被设计成网络游戏,并为众多玩家所喜爱。当年这一战役( )A.使美国卷入了第二次世界大战B.促成了国际
- 3下图是以南充市某地E(31°N , 106.5°E )为中心的地球俯视半球图,N点为北极点,弧 AEC 将图示区域分为相
- 4读下图,根据所学过的知识回答问题(注:--A线,----B线,---C线) (1)界线A大致与400mm等降水量线相接近
- 5在购买小号衣服时,看衣服标签上是否有________ 字母。 [ ]A. S B. M C. L D. X L
- 6椭圆的焦距为2,则m=( )。
- 7在用显微镜观察玻片标本时,如果不动显微镜的其他部分,只是转动转换器,将物镜由10×转换成45×,所观察到的视野变化是(
- 8黑板上写有20个加号及35个减号,每次允许擦去其中任意两个.如果擦去的两个符号相同,则补写上一个加号,如果擦去的两个符号
- 9【题文】设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为________ ;-3061-11
- 10已知函数,则的值为
热门考点
- 1下列现象和氧气的物理性质有关的是( )A.鱼类在水中生存B.铁在空气中生锈C.氧气使带火星的木条复燃D.硫在氧气中燃烧
- 2三盏灯“220V 100W”’、“220V 60W”、“220V 40W”都正常工作,其中最亮的是:[ ]A.“
- 3阅读理解。 Canadians and Americans usually tip in places like
- 4在图所示的光电管的实验中,发现用一定频率的A单色光照射光电管时,电流表指针会发生偏转,而用另一频率的B单色光照射时不发生
- 5下列说法属于唯物主义观点的是( )A.存在就是被感知B.巧妇难为无米之炊C.掩耳盗铃D.自然界的万事万物是绝对精神的
- 6一个三角形改变为它的相似三角形,若边长扩大为原来的4倍,则面积扩大为原来的 _________ 倍.
- 7下列各句中有语病的一句是 ( )A.当我从易卜生的故乡斯凯恩返回奥斯陆的时候,沿途那幽深的有野鹿出没的森林里,那起伏
- 8在等差数列中,,,当时,序号等于( )A.99B.100C.96 D.101
- 9如图为某生态系统的食物网简图,请据图回答(1)图中所示的食物网中,共有______条食物链.(2)请写出该食物网中最长的
- 10Today is ___ day at school. [ ]A. first B.