题目

题型：广东模拟难度：来源：

设向量

a

=(sinx，1)，

b

=(1，cosx)，记f(x)=

a

•

b

，f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最大值和最小正周期；
（II）若f（x）=2f′（x），求

1+2sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

答案

（1）f（x）=sinx+cosx
∴f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+

2

sin(2x+

π

4

)
∴当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

⇒x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，
F(x)max=1+

2

最小正周期为T=

2π

2

=π
（2）∵f（x）=2f′（x）⇒sinx+cosx=2cosx-2sinx
∴cosx=3sinx⇒tanx=

1

3

∴

1+2sin2x

cos2x-sinxcosx

=

3sin2x+cos2x

cos2x-sinxcosx

=

3tan2x+1

1-tanx

=

2

2 3

=2．