题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分5分）已知函数的图象过点（—1，—6），且函数 的图象关于y轴对称。  （1）求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；（2）若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.    

答案

(Ⅰ)m=-3, n=0单调递减区间是（0，2） (Ⅱ) ：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值   

解析

（I）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n="-3," …………①…………1分
由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x²+(2m+6)x+n;
而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,………………3分
代入①得n=0……………………5分
于是f′(x)＝3x²-6x=3x(x-2).
由f′(x)>得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；……………………6分
由f′(x)<0得0<x<2,
故f(x)的单调递减区间是（0，2）……………………6分
（II）由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),  令f′(x)＝0得x=0或x=2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

X	(-∞.0)	0	(0,2)	2	(2,+ ∞)
f′(x)	+	0	－	0	＋
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

由此可得：
当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；…………9分
当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；………………11分
当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；…………13分
当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值………………15分
综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，
无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值