题目
题型:不详难度:来源:
(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
答案
(2)当或时,的零点个数为1;当时,的零点个数为2.
解析
,即在上是单调减函数. 同理,在上是单调增函数.
由于在是单调减函数,故,从而,即.
令,得,当时,;当时,,
又在上有最小值,所以,即,
综上所述,.
(2)当时,必是单调增函数;当时,令,
解得,即,
∵在上是单调函数,类似(1)有,即,
综合上述两种情况,有.
①当时,由以及,得存在唯一的零点;
②当时,由于,,且函数在上的图象不间断,∴在是单调增函数,∴在上存在零点. 另外,当时,,则在上是单调增函数,只有一个零点.
③当时,令,解得.
当时,;当时,. ∴是的最大值点,且最大值为.
1)当,即时,有一个零点.
2)当,即时,有两个零点. 实际上,对于,由于,,且函数在上的图象不间断,∴在上存在零点.
另外,当时,,故在上是单调增函数,∴在上有一个零点.
下面需要考虑在上的情况,先证,
为此,我们要证明:当时,,设,则,再设,则.
当时,,∴在上是单调增函数,
故当时,,从而在上是单调增函数,进而当
时,,即当时,.
当,即时,,又,且函数
在的图象不间断,∴在上存在零点.
又当时,,故在是单调减函数,所以,在上只有一个零点.
综上所述,当或时,的零点个数为1;当时,的零点个数为2.
【考点定位】本小题主要考查导数的运算及用导数研究函数的性质,考查函数、方程及不等式的相互转化,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.
核心考点
举一反三
(1) 当时,求函数的单调区间;
(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值.
(II)若不等式取值范围.
(Ⅰ)若时,,求的最小值;
(Ⅱ)设数列的通项,证明:.
(I)求f(x)的极小值和极大值;
(II)当曲线y = f(x)的切线的斜率为负数时,求在x轴上截距的取值范围.
(Ⅰ)求的单调区间、最大值;
(Ⅱ)讨论关于的方程根的个数。
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