题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅲ)求证:(,e是自然对数的底数).
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)当时,求函数的单调区间,即判断在各个区间上的符号,只需对求导即可;(Ⅱ)当时,不等式恒成立,即恒成立,令 (),只需求出最大值,让最大值小于等于零即可,可利用导数求最值,从而求出的取值范围;(Ⅲ)要证(成立,即证,即证,由(Ⅱ)可知当时,在上恒成立,又因为,从而证出.
试题解析:(Ⅰ)当时,(),(),
由解得,由解得,故函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
(Ⅱ)因当时,不等式恒成立,即恒成立,设 (),只需即可.由,
(ⅰ)当时,,当时,,函数在上单调递减,故 成立;
(ⅱ)当时,由,因,所以,①若,即时,在区间上,,则函数在上单调递增,在 上无最大值(或:当时,),此时不满足条件;②若,即时,函数在上单调递减,在区间上单调递增,同样 在上无最大值,不满足条件 ;
(ⅲ)当时,由,∵,∴,
∴,故函数在上单调递减,故成立.
综上所述,实数a的取值范围是.
(Ⅲ)据(Ⅱ)知当时,在上恒成立,又,
∵
,∴.
核心考点
举一反三
(1)若曲线在处的切线也是抛物线的切线,求的值;
(2)当时,是否存在,使曲线在点处的切线斜率与 在
上的最小值相等?若存在,求符合条件的的个数;若不存在,请说明理由.
(1)当时,判断在定义域上的单调性;
(2)若在上的最小值为,求的值;
(3)若在上恒成立,试求的取值范围.
(1)若函数的图象在处的切线斜率为,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,求函数的单调区间;
(3)若函数在上是减函数,求实数的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
①当时, ②函数有2个零点
③的解集为 ④,都有
其中正确命题个数是( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
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