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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数若函数在x = 0处取得极值.
(1) 求实数的值;
(2) 若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;
(3) 证明:对任意的自然数n,有恒成立.
答案
(1);(2) ;(3)见解析.
解析

试题分析:(1)先有已知条件写出的解析式,然后求导,根据导数与函数极值的关系得到,解得的值;(2)由构造函数,则上恰有两个不同的实数根等价于恰有两个不同实数根,对函数求导,根据函数的单调性与导数的关系找到函数的单调区间,再由零点的存在性定理得到,解不等式组即可;(3) 证明不等式,即是证明.对函数求导,利用导数研究函数的单调性,找到其在区间上的最大值,则有成立,那么不等式成立,利用二次函数的图像与性质可得的单调性与最小值,根据,那么,所给不等式得证.
试题解析:(1) 由题意知,   2分
时, 取得极值,∴,故,解得
经检验符合题意.                                                       4分
(2)由
 ,得,                          5分

上恰有两个不同的实数根等价于恰有两个不同实数根. ,         7分
时,,于是上单调递增;
时,,于是上单调递减.依题意有
,即, .9分
(3) 的定义域为,由(1)知
得, (舍去),                 11分
∴当时,单调递增;
时,单调递减.  ∴在(-1,+∞)上的最大值.
,故 (当且仅当时,等号成立)  12分
对任意正整数,取得,
 则为增函数,
所以,即恒成立.
对任意的自然数,有恒成立.                  14分
核心考点
试题【已知函数若函数在x = 0处取得极值.(1) 求实数的值;(2) 若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;(3) 证明:对任意的】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数若函数在x = 0处取得极值.
(1) 求实数的值;
(2) 若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数n,不等式都成立.
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如图,已知点,直线与函数的图象交于点,与轴交于点,记的面积为.

(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)求函数的最大值.
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已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若在区间上恒成立,求实数的取值范围.
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设函数.
(1)当时,求函数的最大值;
(2)令其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围;
(3)当,方程有唯一实数解,求正数的值.
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已知为函数图象上一点,为坐标原点,记直线的斜率
(1)若函数在区间上存在极值,求实数的取值范围;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:
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