题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)设,,,为函数的图象上任意不同两点,若过,两点的直线的斜率恒大于,求的取值范围.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)先求出函数的定义域为,再对函数求导得.对分, ,,四种情况进行讨论,求得每种情况下使得的的取值范围,求得的的取值集合即是函数的单调增区间;(Ⅱ)先根据两点坐标求出斜率满足的不等式,对、的取值进行分类讨论,然后将问题“过, 两点的直线的斜率恒大于”转化为“函数在恒为增函数”,即在上,恒成立问题,即是在恒成立问题,然后根据不等式恒成立问题并结合二次函数的图像与性质求解.
试题解析:(Ⅰ)依题意,的定义域为,
.
(ⅰ)若,
当时,,为增函数.
(ⅱ)若,
恒成立,故当时,为增函数.
(ⅲ)若,
当时,,为增函数;
当时,,为增函数.
(ⅳ)若,
当时,,为增函数;
当时,,为增函数.
综上所述,
当时,函数的单调递增区间是;当时,函数的单调递增区间是,;当时,函数的单调递增区间是;当时,函数的单调递增区间是,. 6分
(Ⅱ)依题意,若过两点的直线的斜率恒大于,则有,
当时,,即;
当时,,即.
设函数,若对于两个不相等的正数,恒成立,
则函数在恒为增函数,
即在上,恒成立,等价于在恒成立,则有
①时,即,所以
或②时,需且,即显然不成立.
综上所述,. 14分
核心考点
举一反三
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)设点为函数的图象上任意一点,若曲线在点处的切线的斜率恒大于,
求的取值范围.
(1)当时,求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)的零点个数
(1)试求函数的单调区间和极值;
(2)若 直线与曲线相交于不同两点,若 试证明.
(1)求的值;
(2)若存在使不等式成立,求实数的取值范围;
(3)对于函数与公共定义域内的任意实数,我们把的值称为两函数在处的偏差,求证:函数与在其公共定义域内的所有偏差都大于2
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