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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数是大于零的常数.
(Ⅰ)当时,求的极值;
(Ⅱ)若函数在区间上为单调递增,求实数的取值范围;
(Ⅲ)证明:曲线上存在一点,使得曲线上总有两点,且成立.
答案
(I)极大值,极小值.
(Ⅱ)当函数在区间上为单调递增时,
(Ⅲ)曲线上存在一点,使得曲线上总有两点,且成立 .
解析

试题分析:(I)求极值一般遵循“求导数、求驻点、讨论区间的导数值正负、计算极值”.
(Ⅱ)函数在区间上为单调递增,因此,其导函数为正数恒成立,据此建立的不等式求解.
应注意结合的不同取值情况加以讨论.
(Ⅲ)通过确定函数的极大值、极小值点,, 并确定的中点.
是图象任意一点,由,可得
根据,可知点在曲线上,作出结论.
本题难度较大,关键是能否认识到极大值、极小值点,的中点即为所求.
试题解析:(I)
时,
.
分别单调递增、单调递减、单调递增,
于是,当时,函数有极大值时,有极小值.
------4分
(Ⅱ),若函数在区间上为单调递增,
上恒成立,
,即时,由
,即时,,无解;
,即时,由
综上,当函数在区间上为单调递增时,.    10分
(Ⅲ)
,得
在区间上分别单调递增,单调递减,单调递增,
于是当时,有极大值
时,有极小值
,, 的中点,
是图象任意一点,由,得
因为

由此可知点在曲线上,即满足的点在曲线上.
所以曲线上存在一点,使得曲线上总有两点,且成立 .          14分
核心考点
试题【已知函数,是大于零的常数. (Ⅰ)当时,求的极值;(Ⅱ)若函数在区间上为单调递增,求实数的取值范围;(Ⅲ)证明:曲线上存在一点,使得曲线上总有两点,且成立.】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数,若在点处的切线斜率为
(Ⅰ)用表示
(Ⅱ)设,若对定义域内的恒成立,求实数的取值范围;
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已知函数为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若对任意的恒成立,求实数的值;
(Ⅲ)求证:.
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直线与曲线相切于点,则________.
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已知实数函数为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的单调区间及最小值;
(Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数的值;
(Ⅲ)证明:
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若函数上单调递减,则实数的取值范围是       
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