题目

题型：不详难度：来源：

已知a>0，函数f(x)＝ax²－ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当a＝时，证明：方程f(x)＝f 在区间(2，＋∞)上有唯一解．

答案

（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）见解析

解析

(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－＝.
∵a>0，令f′(x)>0得x>；令f′(x)<0，得0<x<，
∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)证明：当a＝时，f(x)＝x²－ln x，由(1)知f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)，
令g(x)＝f(x)－f ，则g(x)在区间(2，＋∞)单调递增且g(2)＝f(2)－f <0，g(e²)＝－2－＋ln>0，
故方程f(x)＝f 在区间(2，＋∞)上有唯一解．