题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝ln x＋－1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设m∈R，对任意的a∈(－1,1)，总存在x₀∈[1，e]，使得不等式ma－f(x₀)＜0成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）单调递增区间是(1，＋∞)．单调递减区间是(0,1)．（2）

解析

(1)f′(x)＝－＝，x＞0.
令f′(x)＞0，得x＞1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
令f′(x)＜0，得0＜x＜1，因此函数f(x)的单调递减区间是(0,1)．
(2)依题意，ma＜f(x)_max.
由(1)知，f(x)在x∈[1，e]上是增函数，
∴f(x)_max＝f(e)＝ln e＋－1＝.
∴ma＜，即ma－＜0对于任意的a∈(－1,1)恒成立．
∴解得－≤m≤.
∴m的取值范围是.