题目
题型:不详难度:来源:
(1)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值;
(3)若存在x1、x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围.
答案
解析
规范解答:(1)证明:f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)·lna.(2分)
由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,所以f′(x)>0.
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.(4分)
(2)解:当a>0,a≠1时,因为f′(0)=0,且f′(x)在R上单调递增,故f′(x)=0有唯一解x=0.(6分)所以x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示:
x | (-∞,0) | 0 | (0,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | | 极小值 | |
(3)解:因为存在x1、x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,所以当x∈[-1,1]时,|f(x)max-f(x)min|=f(x)max-f(x)min≥e-1.(12分)
由(2)知,f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,所以当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(0)=1,f(x)max=max{f(-1),f(1)}.
而f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-=a--2lna,
记g(t)=t--2lnt(t>0),因为g′(t)=1+-=≥0(当且仅当t=1时取等号),
所以g(t)=t--2lnt在t∈(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,
所以当t>1时,g(t)>0;当0<t<1时,g(t)<0,
也就是当a>1时,f(1)>f(-1);当0<a<1时,f(1)<f(-1).(14分)
①当a>1时,由f(1)-f(0)≥e-1a-lna≥e-1a≥e,
②当0<a<1时,由f(-1)-f(0)≥e-1+lna≥e-10<a≤,
综上知,所求a的取值范围为∪[e,+∞).(16分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1).(1)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)若函数y=|f(x)-】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求a的值;
(2)如何取值时,函数存在极值点,并求出极值点;
(3)若m=1,且x>0,求证:
(1)求函数的极值;
(2)证明:对任意正数,存在正数,使不等式成立;
(3)设,且,证明:对任意正数都有:.
(1)若对内的一切实数,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,求最大的正整数,使得对(是自然对数的底数)内的任意个实数 都有成立;
(3)求证:.
(1)若,求的单调减区间;
(2)若对任意,且,都有,求实数的取值范围;
(3)在第(2)问求出的实数的范围内,若存在一个与有关的负数,使得对任意时恒成立,求的最小值及相应的值.
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