题目

题型：不详难度：来源：

已知二次函数，关于x的不等式的解集为，其中m为非零常数.设.
(1)求a的值；
(2)如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；
(3)若m=1，且x>0，求证：

答案

（1）（2）当时，取任何实数, 函数有极小值点；
当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分
(其中, )（3）见解析

解析

（1）解：∵关于的不等式的解集为，
即不等式的解集为，
∴.
∴.
∴.
∴.
(2)解法1:由(1)得.
∴的定义域为.
∴. ………3分
方程（*）的判别式
.………4分
①当时，，方程（*）的两个实根为
 ………5分
则时，；时，.
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
∴函数有极小值点. ………6分
②当时，由,得或，
若，则
故时，，
∴函数在上单调递增.
∴函数没有极值点.………7分
若时，
则时，；时，；时，.
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴函数有极小值点，有极大值点. ………8分
综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点；
当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分
(其中, )
解法2:由(1)得.
∴的定义域为.
∴. ………3分
若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且
至少有一个零点在上. ………4分
令,
得, (*)
则,(**)…………5分
方程（*）的两个实根为, .
设,
①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立.
则时，；时，.
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
∴函数有极小值点. ………6分
②若,则得
又由(**)解得或,
故.………7分
则时，；时，；时，.
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴函数有极小值点，有极大值点. ………8分
综上所述, 当时，取任何实数, 函数有极小值点；
当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分
(其中, )
（3）∵， ∴.
∴ 

. ………10分
令，
则
.
∵，
∴…11分
12分


.………13分
∴，即. ……………14分
证法2：下面用数学归纳法证明不等式.
① 当时，左边，右边，不等式成立；
………10分
②假设当N时，不等式成立，即，
则

………11分
 ………12分
. ………13分
也就是说，当时，不等式也成立.
由①②可得，对N，都成立. …14分