题目
题型:不详难度:来源:
(1)讨论的单调性;
(2) 若不等式恒成立,求实数取值范围;
(3)若方程存在两个异号实根,,求证:
答案
解析
试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断导数的单调性、利用导数求函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,先求函数的定义域,对求导,由于,所以讨论a的正负,利用的正负,判断函数的单调性;第二问,结合第一问的结论,当时举一反例证明不恒成立,当时,将恒成立转化为恒成立,令,利用导数求的最小值;第三问,要证,需证,令,利用函数的单调性,解出的大小.
(1)的定义域为.
其导数 2分
①当时,,函数在上是增函数;
②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,.
所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数. 4分
(2)当时, 则取适当的数能使,比如取,
能使, 所以不合题意 6分
当时,令,则
问题化为求恒成立时的取值范围.
由于
在区间上,;在区间上,. 8分
的最小值为,所以只需
即,, 10分
(3)由于存在两个异号根,不仿设,因为,所以 11分
构造函数:()
所以函数在区间上为减函数. ,则,
于是,又,,由在上为减函数可知.即 14分
核心考点
举一反三
(1)若的极大值为,求实数的值;
(2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
(3)若函数f(x)满足:在定义域内存在实数x0,使f(x0+k)= f(x0)+ f(k)(k为常数),则称“f(x)关于k可线性分解”. 设,若关于实数a 可线性分解,求取值范围.
(1)求函数的最小值;
(2)若,证明:当时,.
(1)当时,证明:;
(2)若,求k的取值范围.
A, B. C. D.
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