题目
题型:不详难度:来源:
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的取值范围;
(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围.
答案
(2)[1,+∞)
(3)[0,8]
解析
因为f′(1)=0,f(1)=-2.
所以切线方程是y=-2.
(2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x的定义域是(0,+∞).
当a>0时,f′(x)=2ax-(a+2)+= (x>0),
令f′(x)=0,即f′(x)=
==0,
所以x=或x=.
当0<≤1,即a≥1时,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2;
当1<<e时,f(x)在[1,e]上的最小值是f<f(1)=-2,不合题意;
当≥e时,f(x)在(1,e)上单调递减,
所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=-2,不合题意.
综上a的取值范围是[1,+∞).
(3)设g(x)=f(x)+2x,则g(x)=ax2-ax+ln x,
只要g(x)在(0,+∞)上单调递增即可.
而g′(x)=2ax-a+=,
当a=0时,g′(x)=>0,此时g(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a≠0时,只需g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,因为x∈(0,+∞),只要2ax2-ax+1≥0,则需要a>0,
对于函数y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴x=>0,只需Δ=a2-8a≤0,
即0<a≤8.
综上a的取值范围是[0,8].
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a>0时,若f(x)在区间】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=;③(ex)′=ex;④()′=x;⑤(x·ex)′=ex+1.
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
A. | B. | C. | D. |
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