题目

题型：0111 模拟题难度：来源：

如图，已知直线l₁：y=2x+m（m＜0）与抛物线C₁：y=ax²（a＞0）和圆C₂：x²+（y+1）²=5都相切，F是C₁的焦点。

（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l₂，直线l₂与y轴交点为N，连接MF交抛物线C₁于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围。

答案

解：（1）由已知，圆的圆心为
圆心到直线的距离d=
解得（舍去）
设l₁与抛物线相切点为
得
代入直线方程得
∴；
（2）由（1）知抛物线C₁方程为，焦点
设
由（1）知以A为切点的切线l的方程为
令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为
所以，
∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边做平行四边形
∴
因为F是定点
所以点M在定直线上；
（3）设直线代入
得

∵
∴
∴的面积S范围是。