题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

设函数f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²-3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点 （2，0）处有相同的切线l。
（1）求a、b的值，并写出切线l的方程；
（2）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、 x₁、x₂，其中x₁＜x₂，且对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+ g（x）＜m（x-1）恒成立，求实数m的取值范围。

答案

解：（1）f"（x）=3x²+4ax+b，g"（x）=2x-3
由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线，
故有f（2）=g（2）=0，f（2）=g"（2）=1
由此得
解得
所以a=-2，b=5，
切线l的方程为x-y-2=0。
（2）由（1）得f（x）=x³-4x²+5x-2，
所以f（x）+g（x）=x³-3x²+2x
依题意，方程x（x²-3x+2-m）=0有三个互不相同的实根0、x₁、x₂，
故x₁、x₂是方程x²-3x+2-m=0的两相异的实根，
所以△=9-4（2-m）>0，即
又对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x-1）成立，
特别地，取x=x₁时，f（x₁）+g（x₁）-mx₁＜-m成立，得m＜0
由韦达定理，可得x₁+x₂=3>0，x₁x₂=2-m>0，
故0＜x₁＜x₂
对任意的x∈[x₁，x₂]，有x-x₂≤0，x-x₁≥0，x>0，
则f（x）+g（x）-mx=x（x-x₁）（x-x₂）≤0
又f（x₁）+g（x₁）-mx₁=0，
所以函数f（x）+g（x）-mx在x∈[x₁，x₂]的最大值为0
于是当m＜0时，对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，
综上，m的取值范围是。