题目

题型：高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=x³-x，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；
（Ⅱ）设a＞0，如果过点（a，b）时作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）。

答案

解：（Ⅰ）求函数f（x）的导数：，
曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为：，
即；
（Ⅱ）如果有一条切线过点（a，b），
则存在t，使，
于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程有三个相异的实数根，
记，则，
当t变化时，变化情况如下表：

由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值时，方程g（t）=0最多有一个实数根；
当a+b=0时，解方程g（t）=0得t=0，，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；
当b- f（a）=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；
综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条曲线，
即g（t）=0有三个相异的实数根，则，
即-a＜b＜f（a）。