题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

已知函数y=f(x)在定义域（-1+∞）内满足f(0)=0，且f′(x)=，(f′(x))是f(x)的导数）
（Ⅰ）求f(x)的表达式.
（Ⅱ）当a=1时，讨论f(x)的单调性
（Ⅲ）设h(x)=（e^x-P）²＋（x－P）²，证明：h(x)≥

答案

解：（Ⅰ）由f′(x)＝，可得f(x)=ln(1+x)-ax+b，b为实常数.
又f(0)＝0b＝0.
∴f(x)＝ln(1+x)-ax.
（Ⅱ）当a=1时，f(x)= ln(1+x)-x.  (x＞－1)
f′(x)＝  
∵x＞－1  由f′(x)＝0x＝0  
∴当x∈（－1，0]时f′(x)≥0，此时f(x)递增
当x∈（0，＋∞）时，f′(x)＜0，此时f(x)递减
即f(x)在（－1，0）上单调增，在（0，＋∞）上单调减
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f(x)≤f(0)＝0在（－1，＋∞）内恒成立
∴ln (1＋x) ≤x，∴e^x≥1＋x e^x－x≥1    
∴（e^x－x）²≥1
∴≤≤（e^x－P）²＋（P－x）²
即h(x)＝（e^x－P）²＋（P－x）²≥