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题目
题型:惠州模拟难度:来源:
已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R)
(1)当a=1时,求f(x)的极小值;
(2)若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围;
(3)设g(x)=|f(x)|,x∈[-1,1],求g(x)的最大值F(a)的解析式.
答案
(1)∵当a=1时,f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,得x=-1或x=1,当f′(x)<0,即x∈(-1,1)时,f(x)为减函数;当f′(x)>0,即x∈(-∞,-1],或x∈[1,+∞)时,f(x)为增函数.∴f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增∴f(x)的极小值是f(1)=-2
(2)∵f′(x)=3x2-3a≥-3a,∴要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,当且仅当-1<-3a时成立,∴a<
1
3

(3)因g(x)=|f(x)|=|x3-3ax|在[-1,1]上是偶函数,故只要求在[0,1]上的最大值
①当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在[0,1]上单调递增且f(0)=0,∴g(x)=f(x),F(a)=f(1)=1-3a.
②当a>0时,f(x)=3x2-3a=3(x+


a
)(x-


a
)

(ⅰ)当


a
≥1,即a≥1
时,g(x)=|f(x)|=-f(x),-f(x)在[0,1]上单调递增,此时F(a)=-f(1)=3a-1
(ⅱ)当0<


a
<1,即0<a<1
时,当f′(x)>0,即x>


a
或x<-


a
时,f(x)单调递增;当f′(x)<0,即-


a
<x<


a
时,f(x)单调递减.所以f(x)在[0,


a
]上单调递减
,在[


a
,1]
单调递增.
1°当f(1)=1-3a≤0,即
1
3
≤a<1
时,g(x)=|f(x)|=-f(x),-f(x)在[0,


a
]上单调递增,在[


a
,1]上单调递减
F(a)=-f(


a
)=2a


a

2°当f(1)=1-3a>0,即0<a<
1
3

(ⅰ)当-f(


a
)≤f(1)=1-3a,即0<a≤
1
4
时,F(a)=f(1)=1-3a

(ⅱ)当-f(


a
)>f(1)=1-3a,即
1
4
<a<
1
3
时,F(a)=-f(


a
)=2a


a

综上所述F(x)=





1-3a,(a≤
1
4
)
2a


a
,(
1
4
<a<1)
3a-1,(a≥1)
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R)(1)当a=1时,求f(x)的极小值;(2)若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数f(x)=x3+x在点x=1处的切线方程为(  )
A.4x-y+2=0B.4x-y-2=0C.4x+y+2=0D.4x+y-2=0
题型:不详难度:| 查看答案
曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为(  )
A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x+3D.y=4x-5
题型:黑龙江难度:| 查看答案
设曲线y=
x+1
x-1
在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=(  )
A.2B.
1
2
C.-
1
2
D.-2
题型:烟台一模难度:| 查看答案
曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(  )
A.30°B.45°C.60°D.120°
题型:江西模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
x-1
x+a
+ln(x+1)
,其中实数a≠1.
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)在x=1处取得极值,试讨论f(x)的单调性.
题型:重庆难度:| 查看答案
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