题目
题型:不详难度:来源:
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠时,求函数y=f(x)的单调区间与极值.
答案
解析
故f′(1)=3e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2,
由a≠知,-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论:
①若a>,则-2a<a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,-2a) | -2a | (-2a,a-2) | a-2 | (a-2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 极大值 | 极小值 |
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函数,在(-2a,a-2)上是减函数.
函数f(x)在x=-2a处取得极大值为f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值为f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
②若a<,则-2a>a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,a-2) | a-2 | (a-2,-2a) | -2a | (-2a,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 极大值 | 极小值 |
所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增函数,在(a-2,-2a)上是减函数.
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),
且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),
且f(-2a)=3ae-2a.
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)当a≠时】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若函数f(x)在x=1处有极值10,求b的值;
(2)若对于任意的a∈[-4,+∞),f(x)在x∈[0,2]上单调递增,求b的最小值.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的取值范围.
(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),求实数a,b的值;
(2)令h (x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调减区间为.
①求函数h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值M(a);
②若|h(x)|≤3在x∈[-2,0]上恒成立,求实数a的取值范围.
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