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题目
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R).
(1)若函数f(x)在x=1处有极值10,求b的值;
(2)若对于任意的a∈[-4,+∞),f(x)在x∈[0,2]上单调递增,求b的最小值.
答案
(1)b=-11   (2)
解析
解:(1)f′(x)=3x2+2ax+b,
于是,根据题设有
解得.
时,f′(x)=3x2+8x-11,Δ=64+132>0,所以函数有极值点;
时,f′(x)=3(x-1)2≥0,所以函数无极值点.
所以b=-11.
(2)由题意知f′(x)=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立,
所以F(a)=2xa+3x2+b≥0对任意的a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立.
因为x≥0,
所以F(a)在a∈[-4,+∞)上为单调递增函数或为常数函数,
①当F(a)为常数函数时,F(a)=b≥0;
②当F(a)为增函数时,F(a)min=F(-4)=-8x+3x2+b≥0,
即b≥(-3x2+8x)max对任意x∈[0,2]都成立,
又-3x2+8x=-3(x-)2
所以当x=时,(-3x2+8x)max,所以b≥.
所以b的最小值为.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R).(1)若函数f(x)在x=1处有极值10,求b的值;(2)若对于任意的a∈[-4,+∞),f(x)在x】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的取值范围.
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已知函数f(x)=ax+x2-xln a(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中a>0,b>0.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),求实数a,b的值;
(2)令h (x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调减区间为.
①求函数h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值M(a);
②若|h(x)|≤3在x∈[-2,0]上恒成立,求实数a的取值范围.
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,则等于  (    )
A.B.
C.D.

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设函数上可导,则等于(  )
A.B.C.D.以上都不对

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