题目

题型：不详难度：来源：

已知平面区域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

被圆C及其内部所覆盖．
（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．

答案

（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，
由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C（2，1），半径r=|OC|=

22+12

=

5

，
∴圆C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）设直线l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是

2

2

r=

10

2

，
即

|2-1+b|

2

=

10

2

，解之得，b=-1±

5

．
∴直线l的方程是：y=x-1±

5

．