题目

题型：不详难度：来源：

已知不等式|1－kxy|＞|kx－y|.
（1）当k=1，y=2时，解关于x的不等式|1－kxy|＞|kx－y|;
（2）若不等式|1－kxy|＞|kx－y|对任意满足|x|＜1，|y|＜1的实数x,y恒成立，求实数k的取值范围

答案

(1) x∈(－∞,－1) ∩(1,+ ∞).
(2) k∈[－1,1]

解析

（1）当k=1,y=2时，不等式|1－kxy|＞|kx－y|即为|1－2x|＞|x－2|.
所以1－4x+4x2＞x2－4x+4x2＞1,所以x∈(－∞,－1) ∩(1,+ ∞).        (5分)
（2）由已知得|1－kxy|＞|kx－y||1－kxy|2＞|kx－y|21+k2x2y2＞k2x2+y2,
即（k2x2－1）(y2－1) ＞0对任意满足|x|＜1,|y|＜1的实数x,y恒成立.         
而y2＜1,所以y2－1＜0,故（k2x2－1）(y2－1) ＞0k2x2－1＜0.
于是命题转化为k2x2－1＜0对任意满足|x|＜1的实数x恒成立.　 （8分） 
当x=0时，易得k∈R;
当x≠0时，有k2＜对任意满足|x|＜1，x≠0的实数x恒成立.
由0＜|x|＜10＜x2＜1∈(1,+ ∞),所以k2≤1.
综合以上得k∈[－1,1]即为所求的取值范围.