题目

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知函数y=f（x）对任意的实数ab都有：f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0时，f（x）＞1，
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5，求f（2）的值，并解不等式f（3m²-m-2）＜3．

答案

解：（1）证明：∵f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且x＞0时，f（x）＞1，
设x₁＜x₂，则x₂﹣x₁＞0，f（x₂﹣x₁）＞1，
∴f（x₂）﹣f（x₁）=f[（x₂﹣x₁）+x₁]﹣f（x₁）
=f（x₂﹣x₁）+f（x₁）﹣1﹣f（x₁）=f（x₂﹣x₁）﹣1＞1﹣1=0，
∴f（x）是R上的增函数；
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m²﹣m﹣2）＜3=f（2），
又f（x）是R上的增函数；
∴3m²﹣m﹣2＜2，
∴-1<m<
∴不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3的解集为：{m|-1<m<}．