题目

题型：江苏期末题难度：来源：

已知函数
（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为﹣3，求实数k的取值范围；
（3）若对于任意的x₁、x₂、x₃，均存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，求实数k 的取值范围．

答案

解：（1）设t=2^x，则y=（t＞0），
∵y＞0恒成立，
∴t＞0时，t²+kt+1＞0恒成立，即t＞0时，k＞﹣（t+）恒成立，
∵t＞0时，t+≥2，
∴﹣（t+）≤﹣2，
当t=，即t=1时，﹣（t+）有最大值为﹣2，
∴k＞﹣2；
（2）f（x）==1+，
令t=2^x++1≥3，则y=1+（t≥3），
当k﹣1＞0，即k＞1时，y∈（1，]，无最小值，舍去；
当k﹣1=0，即k=1时，y∈{1}，最小值不是﹣3，舍去；
当k﹣1＜0，即k＜1时，y∈[，1），最小值为=﹣3得k=﹣11；
综上k=﹣11．
（3）因对任意实数x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，
故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）
对任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
当k＞1时，
∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤且1＜f（x₃）≤，
故≤2，
∴1＜k≤4；
当k=1时，
∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足条件；
当k＜1时，
∵≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且≤f（x₃）＜1，
故≥1，
∴﹣≤k＜1；
综上所述：﹣≤k≤4．