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题目
题型:不详难度:来源:
若两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,其中a,b∈R,ab≠0,则
4
a2
+
1
b2
的最小值为______.
答案
由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为 (x+a)2+y2=4,x2+(y-2b)2=1,
圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为2和1,故有


a2+4b2
=3,∴a2+4b2=9,
4
a2
+
1
b2
=
1
9
(a2+4b2)(
4
a2
+
1
b2
)=
1
9
(8+
16b2
a2
+
a2
b2
)≥
1
9
(8+8)=
16
9

当且仅当
16b2
a2
=
a2
b2
时,等号成立,
4
a2
+
1
b2
的最小值为
16
9

故答案为:
16
9
核心考点
试题【若两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,其中a,b∈R,ab≠0,则4a2+1b2的最小值为______.】;主要考察你对均值不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
x、y满足约束条件





x+y≥1
x-y≥-1
2x-y≤2
,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为7,则
3
a
+
4
b
的最小值为(  )
A.14B.7C.18D.13
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已知x>0,y>0,且x+y=1,则
1
x
+
1
y
的最小值为(  )
A.1B.2C.3D.4
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若X>0,则X+
4
X
(  )
A.有最大值4B.有最小值-4C.有最小值4D.有最大值-4
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某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置,A车间有100名员工,B车间有400名员工,现要在公路AC上找一点D,修一条公路BD,并在D处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐,已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km,设∠BDC=α,所有员工从车间到食堂步行的总路程为S.
(1)写出S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
(2)问食堂D建在距离A多远时,可使总路程S最少?
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已知关于x的函数y=
x2+1+c


x2+c

(1)若c=-1,求该函数的值域.
(2)当c满足什么条件时,该函数的值域为[2,+∞)?说明你的理由.
(3)求证:若c>1,则y
1+c


c
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