题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知数列{a_n}的首项为1，对任意的n∈N*，定义b_n=a_n+1-a_n，
（Ⅰ）若b_n=n+1，求a₄；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0），
（ⅰ）当a=1，b=2时，求数列{b_n}的前3n项和；
（ⅱ）当a=1时，求证：数列{a_n}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次。

答案

（Ⅰ）解：，
；
（Ⅱ）（ⅰ）解：因为，
所以，对任意的n∈N*有，
即数列{b_n}各项的值重复出现，周期为6；
又数列{b_n}的前6项分别为，且这六个数的和为7；
设数列{b_n}的前n项和为S_n，则
当时，；
当时，
；
所以，当n为偶数时，；当n为奇数时，；
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n∈N*有，
又数列{b_n}的前6项分别为，且这六个数的和为，
设，（其中i为常数且），
所以，
所以，数列均为以为公差的等差数列；
因为b＞0时，，b＜0时，，
所以{}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次，
所以数列中任意一项的值最多在此数列中出现6次，
即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次。