题目

题型：江西省月考题难度：来源：

已知数列{f（n）}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．（Ⅰ）求数列{f（n）}通项公式；
（Ⅱ）若a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N），求数列{a_n}的前n项和T_n．

答案

解：（Ⅰ）n2时，f（n）=S_n﹣S_n﹣1=2n+1．
n=1时，f（1）=S₁=3，适合上式，
∴f（n）=Sn﹣Sn﹣1=2n+1．（n∈N*）．
（Ⅱ）a₁=f（1）=3，a_n+1=2a_n+1，（n∈N*）．即a_n+1+1=2（a_n+1）．
∴数列{an+1}是首项为4，公比为2的等比数列．a_n+1=（a₁+1）2n+1=2n+1．
a_n=2n+1﹣1，（n∈N*）．
T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹﹣n=2 ⁿ⁺²﹣4﹣n．