题目

题型：期末题难度：来源：

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（a_n，S_n）在函数的图象上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，求证：．

答案

（1）解：∵点（a_n，S_n）在函数的图象上，
∴S_n=a_n²+a_n﹣3；S_n﹣1=a_n﹣1²+a_n﹣1﹣3（n≥2）
∵S_n﹣S_n﹣1=a_n，
∴（a_n+a_n﹣1）（a_n﹣a_n﹣1﹣1）=0
∵数列{a_n}各项均为正数
∴a_n﹣a_n﹣1﹣1=0（n≥2）
∴数列{a_n}为等差数列
∵S₁=a₁=a₁²+a₁﹣3
∴a₁=3
∴a_n=a₁+（n﹣1）d=2+n
（2）证明：b_n=na_n=n（n+2）
∴
∴=
=＜
∴．