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题目
题型:不详难度:来源:
已知数列{an}满足a1=1,a2=
1
2
,且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]
(n=1,2,3,…)
(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;
(2)令bn=a2n-1•a2n,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证Tn<3.
答案
(1)分别令n=1,2,3,4
可求得:a3=3,a4=
1
4
a5=5,a6=
1
8

当n为奇数时,不妨设n=2m-1,m∈N*,则a2m+1-a2m-1=2.
∴{a2m-1}为等差数列,∴a2m-1=1+(m-1)•2=2m-1即am=n.
当n为偶数时,设n=2m,m∈N*,则2a2m+2-a2m=0.
∴{a2m}为等比数列,a2m=
1
2
•(
1
2
)m-1=
1
2m
,故an=(
1
2
)
n
2

综上所述,an=





n,(n为奇)
(
1
2
)
n
2
,(n为偶数)

(2)bn=a2n-1a2n=(2n-1)•
1
2n

Tn=1×
1
2
+3×
1
22
+5×
1
23
++(2n-1)•
1
2n

1
2
Tn=1×
1
22
+3×
1
22
++(2n-3)•
1
2n
+(2n-1)•
1
2n

两式相减:
1
2
Tn=
1
2
+2[
1
22
+
1
23
++
1
2n
]-(2n-1)•
1
2n+1

=
1
2
+2•
1
4
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
-(2n-1)•
1
2n+1

Tn=3-
2n+3
2n
,故Tn<3.
核心考点
试题【已知数列{an}满足a1=1,a2=12,且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1](n=1,2,3,…)(1)求a3,a4,a5,a6的值及数】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
设数列{an}的前n项和为Sn,且an=sin
2
,n∈N*,则S2011=______.
题型:福建模拟难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(
1
2
n-1+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令cn=
n+1
n
an,Tn为数列{cn}的前n项和,试比较Tn
5n
2n+1
的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2n+1(n∈N*).
(1)设bn=
an
2n
,求证:数列{bn}是等差数列:
(2)设数列{cn}满足cn=
1
log2(
an
n+1
) +1
(n∈N*),Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…cncn+1,若对一切n∈N*不等式2mTn>Cn恒成立,实数m的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,程序框图所进行的求和运算是(  )
A.
1
2
+
1
4
+
1
6
+…+
1
20
B.1+
1
3
+
1
5
+…+
1
19
C.1+
1
2
+
1
4
+…+
1
18
D.
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
210
魔方格
题型:西安模拟难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=
1
3
(an-1)(n∈N*
(1)求a1,a2,a3的值.
(2)求an的通项公式.
题型:不详难度:| 查看答案
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