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题目
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=
2x
2x+


2
的图象上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),若


OP
=
1
2


OP1
+


OP2
),且点P的横坐标为
1
2

(1)求证:P点的纵坐标为定值,并求出这个定值;
(2)求Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+A+f(
n-1
n
)+f(
n
n

(3)记Tn为数列{
1
(Sn+


2
)(Sn+1+


2
)
}的前n项和,若Tn<a(Sn+1+


2
)对一切n∈N*都成立,试求a的取值范围.
答案
(1)证:∵


OP
=
1
2


OP1
+


OP2
),
∴P是P1P2的中点⇒x1+x2=1------(2分)
∴y1+y2=f(x1)+f(x2)=
2x1
2x1+


2
+
2x2
2x2+


2
=
2x1
2x1+


2
+
21-x1
21-x1+


2
=
2x1
2x1+


2
+
2


2
2x1+2
=1.
yp=
1
2
(y1+y2)
=
1
2
..-----------------------------(4分)
(2)由(1)知x1+x2=1,f (x1)+f (x2)=y1+y2=1,f (1)=2-


2

Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(
n
n
),
Sn=f(
n
n
)+f(
n-1
n
)+…+f(
2
n
)+f(
1
n
),
相加得 2Sn=f(1)+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+[f(
2
n
)+f(
n-2
n
)]+…+[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)]+f(1),
=2f(1)+n-1=n+3-2


2

Sn=
n+3-2


2
2
.------------(8分)
(3)
1
(Sn+


2
)(Sn+1+


2
)
=
1
n+3
2
n+4
2
=
4
(n+3)(n+4)
=4(
1
n+3
-
1
n+4
)

Tn=4[(
1
4
-
1
5
)+(
1
5
-
1
6
)+…+(
1
n+3
-
1
n+4
)]
--------------------(10分) 
 Tn<a(Sn+1+


2
)
⇔a
Tn
Sn+1+


2
=
2n
(n+4)2
=
2
n+
16
n
+8

n+
16
n
≥8,当且仅当n=4时,取“=”
2
n+
16
n
+8
2
8+8
=
1
8
,因此,a
1
8
-------------------(12分)
核心考点
试题【设函数f(x)=2x2x+2的图象上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),若OP=12(OP1+OP2),且点P的横坐标为12.(1)求证:P点的纵坐标为】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
设xn={1,2…,n}(n∈N+),对xn的任意非空子集A,定义f(A)为A中的最小元素,当A取遍xn的所有非空子集时,对应的f(A)的和为Sn,则:①S3=______,②Sn=______.
题型:江西模拟难度:| 查看答案
在数列{an}中,a1=a,a2=b,且an+2=an+1-an(n∈N*),设数列{an}的前n项和为Sn,则S2013=______.
题型:不详难度:| 查看答案
若a,4,3a为等差数列的连续三项,则a0+a1+a2+…+a9的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an},其前n项和Sn满足Sn+1=2λSn+1(λ是大于0的常数),且a1=1,a3=4.
(1)求λ的值;
(2)求数列{an}的通项公式an
(3)设数列{nan}的前n项和为Tn,求Tn
题型:崇文区一模难度:| 查看答案
数列{an}中,已知 a1=1,an+1=an+
n+1
2n
,求an
题型:不详难度:| 查看答案
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