题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有2Sn=

a

2n

+an．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 设正数数列{c_n}满足an+1=(cn)n+1，(n∈N*)，求数列{c_n}中的最大项；
（Ⅲ） 求证：Tn=

1

a 41

+

1

a 42

+

1

a 43

+…+

1

a 4n

＜

11

10

．

答案

（Ⅰ）由已知：对于n∈N^*，总有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+

a

2n-1

(n≥2)②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n，a_n-1均为正数，∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列，又n=1时，2S1=a1+a12，解得a₁=1．
∴a_n=n．
（Ⅱ）解法一：由已知c_n＞0，a2=c12=2⇒c1=

2

，
a3=

c

32

=3⇒c2=

3	3

，同理，c4=

2

，c5=

5	5

．
易得　c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞…猜想n≥2时，{c_n}是递减数列．
令f(x)=

lnx

x

，则f′(x)=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f"（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由an+1=cnn+1知lncn=

ln(n+1)

n+1

．
∴n≥2时，{lnc_n}是递减数列．即{c_n}是递减数列．
又c₁＜c₂，∴数列{c_n}中的最大项为c2=

3	3

．
解法二：猜测数列{c_n}中的最大项为c2=

3	3

．c₁＜c₂＞c₃易直接验证；
以下用数学归纳法证明n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
（1）当n=3时，nⁿ⁺¹=81＞64=（n+1）ⁿ，所以n=3时不等式成立；
（2）假设n=k（k≥3）时不等式成立，即k^k+1＞（k+1）^k，即(

k+1

k

)k＜k，
当n=k+1时，(

k+2

k+1

)k+1=(

k+2

k+1

)(

k+2

k+1

)k＜(

k+2

k+1

)(

k+1

k

)k＜(

k+2

k+1

)k＜k+1，
所以（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1，即n=k+1时不等式成立．
由（1）（2）知nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ对一切不小于3的正整数都成立．
（3）解法一：当n≥4时，由基本不等式的性质可得n3+16≥2

16n3

=8n

n

≥16n，
当n=2

3	2

时，取前一个等号，显然取不到，因此：n³+16＞16n，∴n⁴＞16n（n-1）．

Tn＜1+ 1 16 + 1 81 + 1 16 [ 1 3•4 + 1 4•5 +…+ 1 n(n-1) ] =1+ 1 16 + 1 81 + 1 16 ( 1 3 - 1 n )＜ 11 10

解法二：n≥2时，

1

n4

＜

1

n2(n-1)2

=

1

2n-1

[

1

(n-1)2

-

1

n2

]，

Tn＜1+ 1 16 + 1 81 + 1 7 ( 1 32 - 1 42 )+ 1 9 ( 1 42 - 1 52 )+…+ 1 2n-1 [ 1 (n-1)2 - 1 n2 ] ＜1+ 1 16 + 1 81 + 1 7 [( 1 32 - 1 42 )+( 1 42 - 1 52 )+… 1 (n-1)2 - 1 n2 ] ＜1+ 1 16 + 1 81 + 1 63 ＜ 11 10