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题目
题型:不详难度:来源:
在数列 {an} 与 {bn} 中,数列 {an} 的前n项和Sn满足 Sn=n2+2n,数列 {bn} 的前n项和Tn满足 3Tn=nbn+1,且b1=1,n∈N*
(Ⅰ)求数列 {an} 的通项公式;
(Ⅱ)求数列 {bn} 的通项公式;
(Ⅲ)设 cn=
bn(an-1)
n+1
cos
2nπ
3
,求数列 {cn} 的前n项和Rn
答案
(Ⅰ)∵Sn=n2+2n,…①
∴Sn-1=(n-1)2+2(n-1),n≥2. …②
①-②得 an=2n+1,n≥2.   …2分
∵a1=S1=3 满足上式,
∴an=2n+1,n∈N*.   …4分
(Ⅱ)∵3Tn=nbn+1,…③
∴3Tn-1=(n-1)bn,n≥2. …④
③-④得 3bn=nbn+1-(n-1)bn,即 
bn+1
bn
=
n+2
n
,n≥2.  …5分
b3
b2
=
4
2
b4
b3
=
5
3
b5
b4
=
6
4
,…,
bn
bn-1
=
n+1
n-1

将以上各式连乘得
bn
b2
=
n(n+1)
6
,n≥2.  …7分
∵b1=1,∴b2=3.
bn=
n(n+1)
2
,n≥2. …8分
∵b1=1满足上式,
bn=
n(n+1)
2
,n∈N*. …9分
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得 cn=n2cos
2nπ
3
,…10分
(1)当 n=3k (k∈N*)时,
Rn=(c1+c2+c3)+(c4+c5+c6)+…+(c3k-2+c3k-1+c3k
=(-
12
2
-
22
2
+32)+(-
42
2
-
52
2
+62)+…+[-
(3k-2)2
2
-
(3k-1)2
2
+(3k)2]
=
13
2
+
31
2
+…+
18k-5
2
=
9k2+4k
2
=
3n2+4n
6

(2)当 n=3k-1(k∈N*)时,
Rn=
9k2+4k
2
-c3k=
-9k2+4k
2
=
-3n2-2n+1
6

(3)当 n=3k-2(k∈N*)时,
Rn=
-9k2+4k
2
-c3k-1=
-2k+1
2
=
-2n-1
6

综上,Rn=





3n2+4n
6
,n=3k
-3n2-2n+1
6
,n=3k-1
-2n-1
6
,n=3k-2
(k∈N*) …14分.
核心考点
试题【在数列 {an} 与 {bn} 中,数列 {an} 的前n项和Sn满足 Sn=n2+2n,数列 {bn} 的前n项和Tn满足 3Tn=nbn+1,且b1=1,n】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
设f(x)是一次函数,f(8)=15,且f(2)、f(5)、f(14)成等比数列,令Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),n∈N*,则Sn=______.
题型:绍兴一模难度:| 查看答案
已知数列An:a1,a2,…,an,满足a1=an=0,且当2≤k≤n(k∈N*)时,(ak-ak-1)2=1.令S(An)=a1+a2+…+an
(Ⅰ)写出S(A5)的所有可能取值;
(Ⅱ)求S(An)的最大值.
题型:朝阳区二模难度:| 查看答案
设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)
a2n+1
-n
a2n
+an+1an=0(n∈N*)

(1)求它的通项公式;
(2)求数列{
an
n+1
}
的前n和Sn
题型:绍兴一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lg(1+
1
x
),点An(n,0)(n∈N*),过点An作直线x=n交f(x)的图象于点Bn,设O为坐标原点.记θn=∠Bn+1AnAn+1(n∈N*),化简求和式Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足
a2n
=S2n-1
,n∈N*.数列{bn}满足bn=
1
an
-
1
an+1
,Tn为数列{bn}的前n项和.
(1)求a1、d和Tn
(2)是否存在实数λ,使对任意的n∈N*,不等式λTn<n+8恒成立?若存在,请求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:长宁区二模难度:| 查看答案
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