题目

题型：天津难度：来源：

已知{a_n}是由非负整数组成的数列，满足a₁=0，a₂=3，a_n+1a_n=（a_n-1+2）（a_n-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a₃；
（2）证明a_n=a_n-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{a_n}的通项公式及其前n项和S_n．

答案

（1）由题设得a₃a₄=10，且a₃、a₄均为非负整数，所以a₃的可能的值为1，2，5，10．
若a₃=1，则a₄=10，a5=

3

2

，与题设矛盾，
若a₃=5，则a₄=2，a5=

35

2

，与题设矛盾，
若a₃=10，则a₄=1，a₅=60，a6=

3

5

，与题设矛盾，
所以a₃=2．
（2）用数学归纳法证明，
①当n=3，a₃=a₁+2，等式成立，
②假设当n=k（k≥3）时等式成立，即a_k=a_k-2+2，
由题设a_k+1a_k=（a_k-1+2）（a_k-2+2），
∵a_k=a_k-2+2≠0，∴a_k+1=a_k-1+2，
也就是说，当n=k+1时，等式a_k+1=a_k-1+2成立．
根据①和②，对于所有k≥3，有a_k+1=a_k-1+2．
（3）由a_2k-1=a_2（k-1）-1+2，a₁=0及a_2k=a_2（k-1）+2，a₂=3，
得a_2k-1=2（k-1），a_2k=2k+1，k=1，2，3，
即a_n=n+（-1）ⁿ，n=1，2，3，
所以Sn=

1 2 n(n+1)，当n为偶数 1 2 n(n+1)-1，当n为奇数