题目

题型：湖北模拟难度：来源：

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n、a_n、

1

2

成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若

a

2n

=2-bn，设Cn=

bn

an

，求数列{C_n}的前项和T_n．

答案

（Ⅰ） 由题意知2an=Sn+

1

2

，an＞0
当n=1时，2a1=a1+

1

2

∴a1=

1

2

；
当n≥2时，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），整理得：

an

an-1

=2（n≥2）
∴数列{a_n}是

1

2

为首项，2为公比的等比数列.an=a1•2n-1=

1

2

×2n-1=2n-2
（Ⅱ）

a

2n

=2-bn=22n-4，
∴b_n=4-2n
Cn=

ba

aa

=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

Tn=

8

2

+

0

22

+

-8

23

+…+

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

①

1

2

Tn=

8

22

+

0

23

+…+

24-8n

2n

+

16-8n

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=4-8(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

16-8n

2n+1

=4-8• 1 22 (1- 1 2n-1 ) 1- 1 2 - 16-8n 2n+1 =4-4(1- 1 2n-1 )- 16-8n 2n+1 = 4n 2n

∴Tn=

8n

2n