题目

题型：石景山区一模难度：来源：

给定有限单调递增数列{x_n}（n∈N^*，n≥2）且x_i≠0（1≤i≤n），定义集合A={（x_i，x_j）|1≤i，j≤n，且i，j∈N^*}．若对任意点A₁∈A，存在点A₂∈A使得OA₁⊥OA₂（O为坐标原点），则称数列{x_n}具有性质P．
（Ⅰ）判断数列{x_n}：-2，2和数列{y_n}：-2，-1，1，3是否具有性质P，简述理由．
（Ⅱ）若数列{x_n}具有性质P，求证：
①数列{x_n}中一定存在两项x_i，x_j使得x_i+x_j=0；
②若x₁=-1，x₂＞0且x_n＞1，则x₂=1．
（Ⅲ）若数列{x_n}只有2013项且具有性质P，x₁=-1，x₃=2，求{x_n}的所有项和S₂₀₁₃．

答案

（Ⅰ）数列{x_n}具有性质P，数列数列{y_n}不具有性质P．
对于数列{x_n}，若A₁（-2，2），则A₂（2，2）；若A₁（-2，-2）则A₂（2，-2）；均满足OA₁⊥OA₂，所以具有性质P．
对于数列{y_n}，当A₁（-2，3）若存在A₂（x，y）满足OA₁⊥OA₂，即-2x+3y=0，即

y

x

=

2

3

，数列{y_n}中不存在这样的数x，y，因此不具有性质P．…（3分）
（Ⅱ）（1）取A₁（x_i，x_i），又数列{x_n}具有性质P，所以存在点A₂（x_i，x_j）使得OA₁⊥OA₂，即x_ix_i+x_ix_j=0，又x_i≠0，所以x_i+x_j=0．…（5分）
（2）由（1）知，数列{x_n}中一定存在两项x_i，x_j使得x_i+x_j=0；又数列{x_n}是单调递增数列且x₂＞0，所以1为数列{x_n}中的一项．
假设x₂≠1，则存在k（2＜k＜n，k∈N^*）有x_k=1，所以0＜x₂＜1．
此时取A₁（x₂，x_n），数列{x_n}具有性质P，所以存在点A₂（x_i，x_s）使得OA₁⊥OA₂，所以x₂x_i+x_nx_s=0；只有x₁，所以当x₁=-1时x₂=x_nx_s＞x_s≥x₂，矛盾；
当x_s=-1时x₂=

xn

xi

≥1，矛盾．所以x₂=1．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，x₂=1．若数列{x_n}只有2013项且具有性质P，可得x₄=4，x₅=8，
猜想数列{x_n}从第二项起是公比为2的等比数列．（用数学归纳法证明）．
所以S₂₀₁₃=-1+1+2+4+…+2²⁰¹¹=

2-22012

1-2

=2²⁰¹²-2     …（13分）