题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为 (n∈N*)，且．数列满足，，，n＝2，3，…．
（Ⅰ）求数列  的通项公式；
（Ⅱ）求数列  的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于 ，．

答案

（Ⅰ）因为 2S_n＝（n＋1）a_n，
所以 2S_n＋1＝（n＋2）a_n＋1．
两式相减得 2a_n＋1＝（n＋2）a_n＋1－（n＋1）a_n，即 ． …………… 2分
当n≥2时，＝＝．
又a₁＝2满足上式，故 ＝2n（n∈N*）．  …………………………………… 4分
（Ⅱ）因为 ＝（n≥2），b＝0，b＝2，
故当n≥3时，有 ＝b＝2，
所以 ＝（n－1）（n≥3）．  ……………………………………………… 8分
显然 b＝0，b＝2 满足上式，
故 {} 的通项公式为 ＝（n－1）． …………………………………… 10分
（Ⅲ）
当k≥2时，．
故     …………………………………………………… 11分
注意到 b₁＝0，
则 （n∈N*）．… 12分

解析

略