题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知数列{a}的前n项和Sn= —a—()+2   (n为正整数).
（1）证明：a=a+ ().,并求数列{a}的通项
（2）若=，T= c+c+···+c，求T.

答案

⑴a=. ⑵T=3—.

解析

本试题主要是考查了数列通项公式的求解以及数列的求和的综合运用。
（1）因为数列{a}的前n项和Sn= —a—()+2   (n为正整数).
利用前n项和与通项公式的 关系得到a=a+ ().,并求数列{a}的通项
（2）根据第一问得到=，然后运用错位相减法得到数列的和式。
解：⑴由S= —a_n—（）+2，得S= —a—()+2，两式相减，得a=
—a+ a+()，即a=a+().---------------------------------------2分
因为S= —a—（）+2，令n=1，得a=.对于a=a+()，两端同时除以()，得2a=2a+1，即数列{2a}是首项为2·a=1，公差为1的等差数列，故2a=n，所以a=.------------------------------------6分
⑵由⑴及=，得c= (n+1)()，
所以T=2×+3×（）+4×（）+···+(n+1) ()，①
T=2×（）+3×（）+4×（）+···+(n+1) ()，②
由①—②，得
T=1+（）+（）+···+()－(n+1) ()=1+—
(n+1) ()=—.  所以T=3—.------------------------------------12分