题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁＝2，a_n＋1＝a_n－.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n＝na_n·2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n

答案

(1) a_n＝.(2) S_n＝n·2^n＋1. 

解析

试题分析：(1)由已知得a_n＋1－a_n＝－，又a₁＝2，
∴当n≥2时，a_n＝a₁＋(a₂－a₁)＋(a₃－a₂)＋…＋(a_n－a_n－1)＝，
a₁＝2也符合上式，∴对一切n∈N^*，a_n＝.            6分
(2)由(1)知：b_n＝na_n·2ⁿ＝(n＋1)·2ⁿ，
∴S_n＝2×2＋3×2²＋4×2³＋…＋(n＋1)×2ⁿ，①
2S_n＝2×2²＋3×2³＋…＋n×2ⁿ＋(n＋1)×2^n＋1，②
∴①－②得－S_n＝2×2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－(n＋1)×2^n＋1＝2＋－(n＋1)×2^n＋1
＝2＋2^n＋1－2－(n＋1)·2^n＋1＝－n·2^n＋1，∴S_n＝n·2^n＋1.              12分
点评：数列解答题考查的的热点为求数列的通项公式、等差(比)数列的性质及数列的求和问题.因此在复习中，要特别注意加强对由递推公式求通项公式、求有规律的非等差(比)数列的前n项和等的专项训练.