题目

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下表给出一个“等差数阵”：
其中每行、每列都是等差数列，a_ij表示位于第i行第j列的数．
(1)写出a₄₅的值；
(2)写出a_ij的计算公式；
(3)证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．

答案

解：(1)a₄₅=49；
(2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a_1j=4+3(j-1）；
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a_2j=7+5(j-1)，……，
第i行是首项为4+3(i-1)，公差为2i+1的等差数列，
因此a_ij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j。
(3)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j，使得N=i(2j+1)+j，
从而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(j+1)，
即正整数2N+1可以分解成两个不是的正整数之积。
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，
由于2N+1是奇数，则它必为两个不是的奇数之积，
即存在正整数k，l，使得2N+1=(2k+1)(2l+1)，
从而N=k(2l+1)+k=a_kl可见N在该等差数阵中；
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．